Statistiques descriptives · L1 · Chapitre 1

Mesurer le changement

Tout le chapitre répond à une seule question : comment dire proprement qu'un chiffre a changé ? On part des pourcentages, puis chaque outil corrige un défaut du précédent.

Pourcentage→ Taux de variation→ Multiplicateur→ Indice base 100→ TCAM→ Glissement annuel

Scrolle doucementChaque étape s'appuie sur la précédente. Lis dans l'ordre.

Réponds aux check-pointsEssaie d'abord seule. L'indice aide, la solution explique chaque calcul.

Bloquée ?Le bouton « Demander à Claude » en bas à droite répond à tes questions sur le cours.

Le cours est en anglais : les termes officiels sont indiqués comme ceci rate of change pour que tu les reconnaisses à l'examen.

Enlever l'effet de taille : les pourcentages

Size effect and data readability

1.1Le problème des chiffres bruts

Voici les jeunes sortis du système scolaire en 1998, classés selon leur diplôme et leur situation 3 ans après. C'est un tableau à double entrée double entry table : une variable en ligne (le diplôme), une en colonne (la situation).

	Work	Unemployed	Other	Total
Moins que le bac	201 810	42 706	29 050	273 566
Bac	157 465	13 101	20 960	191 526
Études supérieures	251 889	12 170	12 394	276 453
Total	611 164	67 977	62 404	741 545

Question naïve : les diplômés du supérieur sont-ils moins au chômage que ceux qui ont le bac ? On lit 12 170 contre 13 101, presque pareil. Mais les groupes n'ont pas la même taille. Comparer des nombres bruts de groupes de tailles différentes, c'est ça, l'effet de taille.

L'idée clé. Pour comparer, on divise par une taille de référence. On obtient un pourcentage, un nombre sans unité qui ne dépend plus de la taille du groupe.

Mais diviser par quoi ? Le tableau a deux totaux : ceux des colonnes (en bas) et ceux des lignes (à droite). Chaque choix répond à une question différente.

1.2Lecture en colonne

column-wise On divise chaque case par le total de sa colonne. Chaque colonne fait alors 100 %.

Question posée : « Parmi ceux qui travaillent, quelle part n'a pas le bac ? »

Calcul

201 810611 164 = 33,0 %

Parmi les 611 164 jeunes qui travaillent, 33 % n'ont pas le bac.

Comment interpréter ? On compare chaque colonne à la colonne Total, qui décrit l'ensemble de la population :

« Moins que le bac » = 36,9 % de tout le monde, mais 62,8 % des chômeurs : ils sont sur-représentés over-represented parmi les chômeurs.
« Études supérieures » = 37,3 % de tout le monde, mais 41,2 % de ceux qui travaillent : sur-représentés dans l'emploi.

1.3Lecture en ligne

row-wise On divise chaque case par le total de sa ligne. Chaque ligne fait 100 %. La question change : « Parmi ceux qui n'ont pas le bac, quelle part travaille ? »

Calcul

201 810273 566 = 73,77 %

Parmi les jeunes sans bac, 73,77 % travaillent. Pour le supérieur c'est 91,11 %, et 82,42 % en moyenne.

L'astuce pour ne jamais se tromper. Le mot « parmi » désigne le dénominateur. « Parmi les chômeurs… » : on divise par le total des chômeurs (colonne). « Parmi les bacheliers… » : on divise par le total des bacheliers (ligne).

Graphiquement, le cours utilise des diagrammes en barres bar graphs pour comparer les profils, et des camemberts pie charts où l'angle de chaque part est proportionnel au pourcentage (100 % = 360°).

1.4Le $ dans Excel

Dans Excel, on écrit la formule une fois puis on la tire (recopie) vers le bas ou vers la droite. Excel décale alors toutes les références. Le $ sert à bloquer ce qui doit rester fixe : il bloque ce qui est juste après lui.

B$5 : la ligne 5 est bloquée. En tirant vers le bas, on divise toujours par la ligne des totaux. C'est le % en colonne.
$E2 : la colonne E est bloquée. En tirant vers la droite, on divise toujours par la colonne des totaux. C'est le % en ligne.

Astuce Excel du cours : on ne multiplie pas par 100, on clique sur le bouton « % » pour afficher 0,2576 sous la forme 25,76 %.

1.5Les 3 sens d'un pourcentage

Un pourcentage est toujours un nombre sans dimension qui enlève l'effet de taille. Mais il peut vouloir dire trois choses :

Une répartition (une structure). La somme fait 100 %. C'est le cas des tableaux ci-dessus.
Une proportion par rapport à une grandeur extérieure. En 2017, PIB Chine / PIB USA = 12 237 / 19 390 = 63,11 %. Ici rien ne doit sommer à 100 %.
Une variation relative dans le temps. C'est le taux de variation, le sujet de la partie 2.

Taux de variation et multiplicateur

Rate of change and related measures

On passe maintenant au temps. Toute variation se mesure entre deux dates : une date initiale (notée 0, en général la plus ancienne) et une date finale (notée 1). Il faut toujours les préciser. Données utilisées dans toute la suite :

Île-de-France (INSEE)	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
PIB, Md€ GDP	576,4	559,1	589,3	615,7	629,5	643,6	649,6
Population, millions	11,7	11,8	11,8	11,8	11,9	12	12
PIB/habitant, k€	49,3	47,6	49,9	52,2	52,9	53,6	54,1

2.1L'écart absolu, et pourquoi il ne suffit pas

Écart absolu absolute difference

x₁ − x₀

PIB : x₂₀₁₄ − x₂₀₀₈ = 649,6 − 576,4 = 73,2 Md€

73,2 milliards, c'est beaucoup ou peu ? On ne sait pas : ça dépend de la taille de départ. +73 € sur un salaire de 1 000 €, c'est énorme ; sur un PIB, c'est rien. Il faut rapporter l'écart à la valeur de départ. On retrouve la même idée qu'en partie 1.

2.2Le taux de variation

Taux de variation rate of change

v_1/0 = x₁ − x₀x₀ = valeur finale − valeur initialevaleur initiale

v_1/0 se lit « taux de variation en 1, base 0 ». On ne multiplie pas par 100 dans la formule : c'est déjà un pourcentage (0,127 = 12,7 %).

Exemple. PIB/habitant entre 2008 et 2014 :

54,1 − 49,349,3 = 0,0974 = +9,74 %

Dans Excel tu trouveras 9,80 % : Excel utilise les valeurs non arrondies (54,133 au lieu de 54,1). Ce n'est pas une erreur.

Dans Excel, pour les taux par rapport à l'année d'avant, pas de $ : =(C4-B4)/B4. Pour les taux par rapport à 2008, on bloque la colonne 2008 : =(C4-$B4)/$B4.

Piège classique. De 2011 à 2014 les barres baissent. Le PIB ne baisse pas : il augmente, mais moins vite. Un taux positif qui diminue veut dire une croissance qui ralentit. Seul 2009 (−3 %) est une vraie baisse.

2.3Le multiplicateur

Coefficient multiplicateur multiplier

m_1/0 = x₁x₀ = valeur finalevaleur initiale

Il dit par combien la valeur a été multipliée.

PIB/habitant 2011 → 2014 : 54,1 / 52,2 = 1,036. De 2008 à 2014 : 54,1 / 49,3 = 1,0974. Ce dernier nombre te rappelle quelque chose ? C'est le taux 9,74 % + 1.

Le lien à retenir par cœur

m = 1 + v ⇔ v = m − 1

m > 1 ⇔ v > 0 ⇔ hausse. Ex. : m = 1,36 ⇔ +36 %.
m < 1 ⇔ v < 0 ⇔ baisse. Ex. : m = 0,95 ⇔ −5 %.
m = 2 ⇔ +100 % (doubler). m = 0,5 ⇔ −50 % (diviser par 2).

Pourquoi un deuxième outil qui dit la même chose ? Parce que les multiplicateurs se multiplient proprement, alors que les taux ne s'additionnent pas. C'est la suite.

2.4Les taux ne s'additionnent pas

Un prix monte de 5 % puis baisse de 5 %. Retour au point de départ ? Non : la baisse s'applique sur une base plus grande.

1,05 × 0,95 = 0,9975 → −0,25 %

Les soldes. −20 % puis encore −10 % : ce n'est pas −30 %. 0,8 × 0,9 = 0,72, donc une remise totale de 28 %. L'ordre n'a pas d'importance (0,9 × 0,8 = 0,72 aussi).

2.5La transitivité des multiplicateurs

Pour enchaîner plusieurs périodes, on multiplie les multiplicateurs. C'est la transitivité transitivity.

Transitivité

m_2/0 = m_1/0 × m_2/1

m_n/0 = m_n/n−1 × m_n−1/n−2 × … × m_1/0

Ex. PIB/hab. : m_09/08 × m_10/09 = 0,9655 × 1,0483 = 1,0121 = m_10/08.

C'est pour ça qu'on ne peut ni additionner ni multiplier des taux : il faut toujours repasser par les multiplicateurs.

Erreur fréquente, même dans les médias. « +6 % par an pendant 5 ans, donc +30 % ». Faux : 1,06⁵ = 1,3382, soit +33,82 %. Et +20 % par an pendant 5 ans ne donne pas +100 % mais 1,2⁵ = 2,488, soit +148,8 %. Plus les taux sont grands, plus l'erreur est grosse.

Les indices élémentaires

Elementary indices

3.1L'indice base 100

C'est la 3^e façon d'exprimer une variation relative, après le taux et le multiplicateur. C'est juste le multiplicateur fois 100.

Indice index

I_1/0 = 100 × m_1/0 = 100 × x₁x₀

La date de base vaut toujours 100. Lecture directe : I = 112,70 ⇔ +12,70 % depuis la base ; I = 96,99 ⇔ −3,01 %.

Exemple. PIB base 100 en 2008 : I_2014/2008 = 100 × 649,6 / 576,4 = 112,70, donc +12,70 % entre 2008 et 2014.

Pourquoi c'est utile ? Le PIB est en milliards d'euros, la population en millions de personnes. Impossible de les mettre sur le même graphique. En base 100, les deux partent du même point et on compare directement leurs évolutions.

Dans Excel : =C4/$B4*100 (on bloque la colonne 2008).

3.2Des taux de croissance aux indices

Souvent on n'a que des taux de croissance annuels. Méthode en 2 étapes : taux → multiplicateurs → on les enchaîne (transitivité) × 100.

	2015	2016	2017	2018
Croissance du PIB (vs année d'avant)	1,11 %	1,10 %	2,26 %	1,72 %
Multiplicateurs	1,0111	1,0110	1,0226	1,0172
Indices base 100 en 2015	100	101,10	103,38	105,16

2016 : 100 × 1,0110 = 101,10. 2017 : 101,10 × 1,0226 = 103,38. 2018 : 103,38 × 1,0172 = 105,16. Le 1,11 % de 2015 n'est pas utilisé ici : c'est la croissance entre 2014 et 2015, qui se situe avant la base.

Question du cours : peut-on calculer les indices base 100 en 2014 ? Oui, justement grâce au 1,11 %. Tu le feras dans le check-point.

3.3Transitivité et changement de base

Un indice n'a de sens que si on connaît sa base. Parfois aucune base n'est « naturelle » (comparer plusieurs pays par exemple) et il faut en choisir une.

Comme les indices sont des multiplicateurs × 100, ils sont transitifs, avec un /100 pour compenser le ×100 en trop :

Transitivité des indices

I_2/0 = I_1/0 × I_2/1100

D'où ça vient : m_2/0 = m_1/0 × m_2/1. On multiplie tout par 100 à gauche → I_2/0 = I_1/0 × m_2/1. Or m_2/1 = I_2/1/100. C'est tout.

Généralisation : I_n/0 = I_n/n−1 × … × I_1/0100ⁿ⁻¹

On a n indices multipliés, donc n fois « ×100 ». Il en faut garder un seul, on divise par 100 les n−1 autres.

Changer de base (passer de la base 0 à la base N)

I_t/N = 100 × I_t/0I_N/0

On divise chaque indice par l'indice de la nouvelle année de base. La base 0 « se simplifie » en haut et en bas.

Exemple. Passer le PIB de base 2008 à base 2014 : chaque année, on divise par I_2014/2008 = 112,70. 2008 : 100 × 100 / 112,70 = 88,73. Dans Excel, le dénominateur est toujours la même case, donc on met un $ : =100*B52/$H52.

Base 100 en 2014	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
PIB	88,73	86,07	90,72	94,78	96,91	99,08	100
Population	97,50	98,33	98,33	98,33	99,17	100	100
PIB/habitant	91,07	87,93	92,10	96,39	97,72	99,08	100

3.4Réversibilité

Attention : la variation de 2008 à 2014 (+12,70 %) n'est pas l'opposé de celle de 2014 à 2008 (88,73 donc −11,27 %). Mais les deux indices sont liés :

Réversibilité reversibility

I_1/0 = 100²I_0/1

112,70 = 10 000 / 88,73 et 88,73 = 10 000 / 112,70.

D'où ça vient : m_1/0 = x₁/x₀ = 1 / (x₀/x₁) = 1 / m_0/1. On remplace m par I/100 et on arrive à 100².

3.5Le taux de croissance annuel moyen (TCAM)

AARC · average annual rate of change Question : de combien le PIB/habitant a-t-il augmenté en moyenne par an entre 2008 et 2014 ?

Mauvaise réponse : faire la moyenne des taux annuels. On a vu qu'on ne peut pas additionner des taux, donc on ne peut pas non plus en faire la moyenne.

Le raisonnement. Sur toute la période, le PIB/hab. a été multiplié par 1,098. On cherche le multiplicateur constant m̄ qui, appliqué chaque année, donne le même résultat. De 2008 à 2014 il y a 6 passages d'une année à l'autre :

m̄ × m̄ × m̄ × m̄ × m̄ × m̄ = m̄⁶ = 1,098 → m̄ = 1,098^1/6 = 1,0157

Donc TCAM = 1,0157 − 1 = 1,57 % par an en moyenne.

Formule du TCAM

(1 + TCAM)^t = m_t/0 ⇒ TCAM = m_t/0^1/t − 1

t = nombre d'intervalles, pas nombre d'années observées. 7 années (2008 à 2014) donnent t = 6. C'est l'erreur la plus fréquente.

Le TCAM est fictif : c'est le taux constant qui aurait donné la même évolution globale.

Exemple du PDG. Il veut doubler le chiffre d'affaires en 5 ans (date 0 à date 5). m = 2, t = 5 : 2^1/5 = 1,149, soit 14,9 % par an. Pas 20 % (100 / 5). Vérification : 100 × 1,149⁵ ≈ 200. Et 14,9 × 5 = 74,5, pas 100 : les taux ne s'additionnent pas.

Glissement annuel et variation des moyennes annuelles

Year-over-year change and average annual change

4.1Le problème des données mensuelles

Voici le prix moyen d'un kilo de pommes en France, chaque mois. Comment calculer une variation annuelle alors qu'on a 12 valeurs par an, qui en plus montent et descendent avec les saisons ?

4.2Deux méthodes, deux réponses

Méthode 1 · Variation des moyennes annuelles average annual change

On calcule la moyenne des 12 mois de chaque année, puis on compare les moyennes deux à deux.

2000 : 1,7467 € 2001 : 1,9108 € → 1,91081,7467 − 1 = +9,40 %

Méthode 2 · Glissement annuel year-over-year change

On compare le même mois à un an d'écart, par exemple décembre n et décembre n+1.

déc. 2000 : 1,66 € déc. 2001 : 1,84 € → 1,841,66 − 1 = +10,84 %

Les deux ne donnent pas le même résultat parce qu'elles ne mesurent pas la même chose. La moyenne annuelle résume toute l'année. Le glissement ne regarde qu'un point dans chaque année, et il est sensible à ce qui se passe ce mois-là.

Ne confonds pas. Le TCAM (partie 3) est fictif : c'est un taux constant imaginaire. La variation des moyennes annuelles est réelle : elle compare des moyennes réellement observées.

4.3Aperçu : l'acquis de croissance

Le plan du cours annonce aussi l'growth carry-over et le carry-over effect, mais les slides s'arrêtent avant. Voici l'idée pour prendre de l'avance ; ta prof la détaillera en cours.

Avec des données trimestrielles (PIB France, en Md€) : moyenne 2014 = (531,8 + 531,5 + 534 + 536,4) / 4 = 533,43. Le 4^e trimestre 2014 vaut 536,4, plus que la moyenne. Si le PIB restait bloqué à 536,4 pendant toute l'année 2015, la moyenne 2015 serait 536,4, soit déjà +0,56 % par rapport à 2014. Cette croissance « déjà acquise » au début de l'année, c'est l'acquis de croissance.

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Fiche récap

À relire la veille du partiel.

% en colonnecase / total colonneExcel : =B2/B$5

% en lignecase / total ligneExcel : =B2/$E2

Écart absolux₁ − x₀a une unité, dépend de la taille

Taux de variationv = (x₁ − x₀) / x₀sans unité

Multiplicateurm = x₁ / x₀ = 1 + vm > 1 hausse · m < 1 baisse

Transitivitém₂/₀ = m₁/₀ × m₂/₁on multiplie les m, jamais les taux

IndiceI₁/₀ = 100 × x₁ / x₀I − 100 = variation en %

Changement de baseI_t/N = 100 × I_t/0 / I_N/0Excel : dénominateur avec $

RéversibilitéI₁/₀ = 100² / I₀/₁112,70 ↔ 88,73

TCAMm^(1/t) − 1t = nb d'intervalles · fictif

Moyennes annuellesmoy(n+1) / moy(n) − 1réel, toute l'année

Glissement annuelx(déc n+1) / x(déc n) − 1même mois, un an d'écart

Les 7 pièges du partiel

Se tromper de dénominateur : cherche le mot « parmi ».
Oublier de préciser les deux dates d'une variation.
Additionner des taux (+5 % puis −5 % ≠ 0 %).
Croire qu'un taux qui diminue veut dire une baisse (il faut qu'il soit négatif).
Faire la moyenne arithmétique des taux au lieu du TCAM.
Prendre t = nombre d'années au lieu du nombre d'intervalles.
Oublier le $ dans Excel, ou le mettre au mauvais endroit.